【判別式小於0意義】判別式小於0:沒有實數解的秘密揭曉!

疑問
【判別式小於0意義】判別式小於0:沒有實數解的秘密揭曉!疑問

多項式判別式

無論多項式係數是否為實數或複數,都存在判別式概念,且判別式位於係數域中。當多項式在分裂域中存在重根時,判別式才會為零。判別式的一般形式為:

aₙ(r₁ - r₂)(r₁ - r₃)...(r₁ - rₙ)(r₂ - r₃)...(rₙ-₁ - rₙ)

其中:

判別式小於0意義 Play

  • aₙ 為多項式的最高次項係數。
  • r₁, r₂, ..., rₙ 為多項式在某個分裂域中的根(若存在重根,按重次排列)。

判別式也被推廣到多項式以外的代數結構,如圓錐曲線、二次型和代數數域。在代數數論中,判別式與分歧的概念緊密相關。幾何分歧類型越抽象,對應的判別式類型也越抽象,因此判別式在許多領域中扮演著核心角色。判別式本質上表示為相應行列式的計算。

二次多項式的判別式

在求解二次多項式方程 ax² + bx + c = 0 時,判別式最為常見。若方程係數 a, b, c 為實數,其判別式定義為:

b² - 4ac

判別式小於0意義

判別式也是一個實數。設方程的兩個根為 r₁r₂,則:

r₁ = (-b + √(b² - 4ac)) / 2a
r₂ = (-b - √(b² - 4ac)) / 2a

若判別式大於等於零,則兩個根都是實數。若判別式等於零,則兩個根相等。若判別式小於零,則兩個根是共軛複數。

多重多項式的判別式

多項式 p(x) = ax² + bx + c 的判別式為:

D(p) = b² - 4ac

西爾維斯特矩陣的行列式計算如下:

R(p, p') =
| 2n-1 2n-3 ... 1 |
| 2n-3 2n-5 ... 3 |
| ... ... ... |
| 3 1 ... 2n-1 |

其中,n 為多項式的次數。

結語

判別式是多項式研究中的一個重要概念,它可以幫助判斷方程根的性質和計算根的表達式。判別式在代數、數論和幾何等許多領域都有應用。a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & … & a_1 & 2a_n & a_{n-1} \
a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} & … & a_0 & a_n & 2a_{n-1}
\end{vmatrix}

此行列式稱為多項式(p(x))及其導數(p'(x))之結式,記為(R(p,p’))。

多項式(p(x))之判別式(D(p))計算公式為:

例如,當(n = 4)時,該行列式為:

四次多項式之判別式即此行列式除以(a_{4})。

判別式小於0的意義

在解析二次方程式 ax² + bx + c = 0 時,會用到判別式的概念,其計算公式為 b² - 4ac。判別式的正負,決定瞭解的實根性質。當判別式小於0時,表示方程式沒有實根。

數學意義

判別式小於0意味着:

  • 二次函數 y = ax² + bx + c 圖形不與x軸相交。
  • 方程式 ax² + bx + c = 0 無實數解。
  • 解為共軛複數,即形式為 r ± si 的非實複數,其中r和s為實數,i為虛數單位。

實務應用

判別式的概念在物理、工程等許多領域都有應用:

領域 應用 判別式小於0的意義
力學 物體的二次運動方程式 物件不會到達最高點或最低點
電學 電路中的交流穩態 電路不會產生諧振

求解步驟

求解判別式小於0的根時,可以採用以下步驟:

  1. 計算判別式 D = b² - 4ac
  2. 如果 D < 0,則方程式沒有實根。

複數根性質

當判別式小於0時,方程式 ax² + bx + c = 0 的根為兩位共軛複數,其形式為:

z₁ = (-b + √(-D)) / (2a)
z₂ = (-b - √(-D)) / (2a)

其中:
* b 是方程式的係數
* a 是方程式的係數
* D 是方程式判別式,且 D < 0

延伸閲讀…

公式解_ 判別式 – 台灣數位學苑(k12 數學)

判別式- 維基百科,自由的百科全書

範例

求解方程式 x² - 5x + 6 = 0 的解。

  • 判別式:D = (-5)² - 4(1)(6) = -11 < 0
  • 因此,方程式沒有實數解,解為共軛複數:
    z₁ = (5 + √(-11)) / 2
    z₂ = (5 - √(-11)) / 2
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