集合（英語：set）簡稱集，是一個基本數學模型，指若干物件（英語：object）形成總體。
集合裏物件稱作元素或成員，它們可以是任何類型數學物件：數字、符號、變量、空間中點、線、面，是其他集合。
若
x
{\displaystyle x}
是集合
A
{\displaystyle A}
元素，記作
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
。
包含任何元素集合稱為空集；包含一個元素集合稱為單元素集合。
比如：
元素
a
,
b
,
c
,
d
,
x
{\displaystyle a,\ b,\ c,\ d,\ x}
寫字母來表示；而集合
A
,
B
,
C
,
D
,
X
{\displaystyle \mathbf {A,\ B,\ C,\ D,\ X} }
寫字母來表示。
如果兩個集合所包含元素完全相同，我們稱這兩個集合相等。
集合現代數學，其基本理論是於十九世紀末創立。
自20世紀上半葉以來，集合理論，切地説是策梅洛-弗蘭克爾集合論，是所有數學分支奠定嚴格實際基礎標準。
來説，所謂一個集合，數個物件歸類而分成一個或數個形態大小整體。
來講，集合是具有某種特性事物整體，或是一些確認物件匯集。
構成集合事物或物件稱作「元素」或「成員」。
集合元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，可以是字母或數字。
數學交流當中，集合會有一些別名。
若
A
∩
B
=
∅
{\displaystyle A\cap B=\varnothing }
，則
A
{\displaystyle A}
和
B
{\displaystyle B}
稱作相交。
當元素
a
{\displaystyle a}
屬於集合
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
時，記作
a
∈
A
{\displaystyle a\in \mathbf {A} }
。
當元素
a
{\displaystyle a}
屬於集合
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
時，記作
a
∉
A
{\displaystyle a\not \in \mathbf {A} }
。
如果
A
,
B
{\displaystyle \mathbf {A,\ B} }
兩個集合所包含元素完全一樣，則二者相等，寫作
A
=
B
{\displaystyle \mathbf {A=B} }
無序性：一個集合中，每個元素地位是，元素之間是。
互異性：一個集合中，任何兩個元素認為是不相同，即每個元素只能出現一次。
確定性：給定一個集合，任一個元素，該元素或者屬於或者屬於該集合，二者必居其一，允許有模稜兩可情況出現。
儘管兩個集合有表示，它們可能是。
比如：上述集合中，
A
=
C
{\displaystyle A=C}
而
B
=
D
{\displaystyle B=D}
，因為它們有元素。
元素列出順序，或者元素列表中有複，和集合否有關係。
比如：這三個集合
{
2
,
4
}
{\displaystyle \left\{2,4\right\}}
，
{
4
,
2
}
{\displaystyle \left\{4,2\right\}}
和
{
2
,
2
,
4
,
2
}
{\displaystyle \left\{2,2,4,2\right\}}
是，因為它們有元素。
延伸閱讀…
集合
A
{\displaystyle A}
、
B
{\displaystyle B}
，若
∀
a
∈
A
{\displaystyle \forall a\in A}
，有
a
∈
B
∴
A
⊆
B
{\displaystyle a\in B\therefore A\subseteq B}
。
稱
A
{\displaystyle A}
是
B
{\displaystyle B}
子集，稱
A
{\displaystyle A}
包含於
B
{\displaystyle B}
，或
B
{\displaystyle B}
包含
A
{\displaystyle A}
，記作
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
或
B
⊇
A
{\displaystyle B\supseteq A}
，否則稱
A
{\displaystyle A}
不是
B
{\displaystyle B}
子集，記作
A
⊈
B
{\displaystyle A\nsubseteq B}
或
B
⊉
A
{\displaystyle B\nsupseteq A}
。
若
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
，且
A
≠
B
{\displaystyle A\neq B}
，稱
A
{\displaystyle A}
是
B
{\displaystyle B}
子集，稱
A
{\displaystyle A}
包含於
B
{\displaystyle B}
，或
B
{\displaystyle B}
包含
A
{\displaystyle A}
，記作
A
⫋
B
{\displaystyle A\subsetneqq B}
或
B
⫌
A
{\displaystyle B\supsetneqq A}
（有時記作
A
⊂
B
{\displaystyle A\subset B}
或
B
⊃
A
{\displaystyle B\supset A}
）。
給定集合
A
{\displaystyle A}
，
B
{\displaystyle B}
，定義運算
∪
{\displaystyle \cup }
如下：
A
∪
B
=
{
e
|
e
∈
A
{\displaystyle A\cup B=\{e|e\in A}
或
e
∈
B
}
{\displaystyle e\in B\}}
。
A
∪
B
{\displaystyle A\cup B}
稱為
A
{\displaystyle A}
和
B
{\displaystyle B}
併集。
作為集合間二元運算，
∪
{\displaystyle \cup }
運算具有以下性質。
一個集合可以通過兩個集合有元素來構造。
A
{\displaystyle A}
和
B
{\displaystyle B}
交集，寫作
A
∩
B
{\displaystyle A\cap B}
，是既屬於
A
{\displaystyle A}
、屬於
B
{\displaystyle B}
所有元素組成集合。
若
A
∩
B
=
∅
{\displaystyle A\cap B=\varnothing }
，則
A
{\displaystyle A}
和
B
{\displaystyle B}
稱作相交。
延伸閱讀…
給定集合
A
{\displaystyle A}
、
B
{\displaystyle B}
，定義運算
∩
{\displaystyle \cap }
如下：
A
∩
B
=
{
e
|
e
∈
A
{\displaystyle A\cap B=\{e|e\in A}
且
e
∈
B
}
{\displaystyle e\in B\}}
。
A
∩
B
{\displaystyle A\cap B}
稱為
A
{\displaystyle A}
和
B
{\displaystyle B}
交集。
作為集合間二元運算，
∩
{\displaystyle \cap }
運算具有以下性質。
兩個集合可以相”減”。
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
中補集，國際上寫作
B
∖
A
{\displaystyle B\setminus A}
，中文教材中有時會寫作
B
−
A
{\displaystyle B-A}
。
表示屬於
B
{\displaystyle B}
、但屬於
A
{\displaystyle A}
所有元素組成集合。
情況下，所討論所有集合是一個給定全集
U
{\displaystyle U}
子集。
這樣，
U
−
A
{\displaystyle U-A}
稱作
A
{\displaystyle A}
補集，或簡稱補集（餘集），寫作
A
′
{\displaystyle A’}
或
∁
U
A
{\displaystyle \complement _{U}A}
。
補集可以看作兩個集合相減，有時稱作差集。
給定集合
A
{\displaystyle A}
，
B
{\displaystyle B}
，定義運算-如下：
A
−
B
=
{
e
|
e
∈
A
{\displaystyle A-B=\{e|e\in A}
且
e
∉
B
}
{\displaystyle e\not \in B\}}
。
A
−
B
{\displaystyle A-B}
稱為
B
{\displaystyle B}
於
A
{\displaystyle A}
集，補集或餘集。
上下文確定了全集
U
{\displaystyle U}
時，於
U
{\displaystyle U}
某個子集
A
{\displaystyle A}
，稱
U
−
A
{\displaystyle U-A}
為
A
{\displaystyle A}
（於
U
{\displaystyle U}
）補集或餘集，記為
A
′
{\displaystyle A’}
或
A
¯
{\displaystyle {\bar {A}}}
，有記為
A
c
{\displaystyle A^{\text{c}}}
,
A
′
{\displaystyle A’}
,
∁
U
A
{\displaystyle \complement _{U}A}
，以及
∁
A
{\displaystyle \complement A}
。
作為集合間二元運算，- 運算有如下基本性質：